人教高中数学A版必修二 《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第4课时向量的数量积)

《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第4课时向量的数量积)

第一部分内容：学习目标

理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角

理解平面向量数量积的含义并会计算

理解a在b上的投影向量的概念

掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用

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平面向量的运算PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：

1．什么是向量的夹角？

2．数量积的定义是什么？

3．投影向量的定义是什么？

4．向量数量积有哪些性质？

5．向量数量积的运算有哪些运算律？

新知初探

1．两向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b_____；

②当θ＝π2时，向量a与b_____，记作a⊥b；

③当θ＝π时，向量a与b_____．

■名师点拨 

按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角．作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．

2．向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a•b，即a•b＝__________.

规定零向量与任一向量的数量积为_____．

名师点拨

(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．

(2)两个向量的数量积记作a•b，千万不能写成a×b的形式．

3．投影向量

如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB→＝a，CD→＝b，我们考虑如下变换：过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1→，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，A1B1→叫做向量a在向量b上的投影向量．

如图(2)，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量．

(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→＝|a|cos θ e.

4．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a•e＝e•a＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔__________．

(3)当a与b同向时，a•b＝_____；

当a与b反向时，a•b＝__________．特别地，a•a＝_____或|a|＝a•a.

(4)|a•b|_____|a||b|.

名师点拨 

对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．

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平面向量的运算PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)

(2)若a•b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)

(3)a，b共线⇔a•b＝|a||b|.(　　)

(4)若a•b＝b•c，则一定有a＝c.(　　)

(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　)

2.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m•n＝(　　)

A．12　　　B．122

C．－122    D．－12

3.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)•15b＝－36，则a与b的夹角为(　　)

A．60°   B．120°

C．135°   D．150°

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平面向量的运算PPT，第四部分内容：讲练互动

平面向量的数量积运算

(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)•(a＋3b)．

(2)如图，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，

∠DAB＝60°，求：

①AD→•BC→；②AB→•DA→.

【解】(1)(a＋2b)•(a＋3b)

＝a•a＋5a•b＋6b•b

＝|a|2＋5a•b＋6|b|2

＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2

＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.

(2)①因为AD→∥BC→，且方向相同，

所以AD→与BC→的夹角是0°，

所以AD→•BC→＝|AD→||BC→|•cos 0°＝3×3×1＝9.

规律方法

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 

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平面向量的运算PPT，第五部分内容：达标反馈

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a•b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)

A.π6　　B.π4

C.π3      D.π2

2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　)

A．－6   B．6

C．3   D．－3

3．已知|a|＝3，|b|＝5，a•b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．

4．已知|a|＝1，|b|＝2.

(1)若a∥b，求a•b；

(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；

(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．

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