人教高中数学A版必修二 《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数乘运算)

《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数乘运算)

第一部分内容：内容标准

1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则．

2.理解平面向量数乘运算的几何意义．

3.理解两个平面向量共线的含义．

4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

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平面向量的运算PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一　向量的数乘运算

预习教材，思考问题

如图，已知向量a，请作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系．

――→a

[提示]　如图，a＋a＋a＝OC→，(－a)＋(－a)＋(－a)＝PF→，可以发现：a＋a＋a与a的方向相同，模是a的模的3倍；(－a)＋(－a)＋(－a)与a的方向相反，模是a的模的3倍．

知识点二　数乘运算的运算律

预习教材，思考问题

已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立．

(1)3(2a)＝6a；

(2)(2＋3)a＝2a＋3a；

(3)2(a＋b)＝2a＋2b.

知识梳理　设λ，μ为实数，则

(1)①λ(μa)＝____，

②(λ＋μ)a＝____，

③λ(a＋b)＝____ (分配律)．

特别地，我们有

(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

(2)向量的线性运算：向量的____、____、____运算统称向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是____．

对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝________.

知识点三　共线向量定理

预习教材，思考问题

(1)a＝λb⇒a与b共线，对吗？

(2)若a与b共线，一定有a＝λb吗？

[自主检测]

1．下列说法正确的是(　　)

A．2a与a不能相等 B．|2a|＞|a|

C．2a∥a D．|2a|≠1

2．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于(　　)

A．2a B．－2a

C.25a D．－25a

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平面向量的运算PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　向量的线性运算

[例1]　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

[分析]　根据向量的线性运算法则求解．

方法提升

向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

探究二　向量线性运算的综合应用

[例2]　在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝(　　)

A.14a＋12bB.13a＋23b

C.12a＋14bD.23a＋13b

探究三　利用共线向量证明三点共线

[例3]　已知任意两个非零向量a，b，试作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b，猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．

方法提升

证明三点共线的方法

若向量AB→＝λAC→，则AB→，AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

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平面向量的运算PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

一、“能伸能缩的大丈夫” ——向量的数乘运算

直观想象、逻辑推理、数学运算

向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，数乘运算的几何意义就是向量的伸缩变换．

[典例1]　已知向量a，b.

(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；

(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．

二、典题悟道——三点共线的判定与证明

直观想象、逻辑推理

[典例2]　如图所示，已知在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.

求证：M、N、C三点共线．

[思维突破]　第一步，看结论：证明M、N、C三点共线．

第二步，想方法：运用共线向量定理证明MN→＝λMC→.

第三步，找联系：以AB→，AD→来表示MN→，MC→，借助共线向量定理寻求λ，使MN→＝λMC→，使问题得证．

[素养提升]　用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合. 

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