人教高中数学A版必修二 《复数的三角表示》复数PPT课件(复数乘、除运算的三角表示及其几何意义)

《复数的三角表示》复数PPT课件(复数乘、除运算的三角表示及其几何意义)

第一部分内容：内容标准

1.了解复数乘、除运算的三角表示．

2.了解复数乘、除运算的几何意义．

3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算.

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复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一　复数三角形式的乘法、除法法则

预习教材，思考问题

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根据复数的乘法运算计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？

知识梳理　设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，

z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.

知识点二　复数三角形式的乘法、除法几何意义

知识梳理　复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→

①复数乘法的几何意义：

两个复数z1，z2相乘时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是______ .这是复数乘法的几何意义．

②复数除法的几何意义：

两个复数z1，z2相除时，如图，把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是商z1z2.这是复数除法的几何意义．

[自主检测]

1．复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(　　)

A．cos (－25°)＋isin (－25°)

B．sin 75°＋icos 75°

C．cos 15°＋isin 15°

D．cos 75°＋isin 75°

2．计算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代数形式表示)

3．将复数1＋i对应的向量OM→绕点O按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM1→，那么OM1→对应的复数是________(用代数形式表示)．

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复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　复数三角形式的乘法运算

[例1]　计算下列各式：

(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；

(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]

[10(cos 80°＋isin 80° )]；

(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .

[分析]　代入复数三角形式的乘法法则计算即可．

方法提升

复数三角形式的乘法运算

(1)直接利用复数三角形式的乘法法则：模数相乘，辐角相加．

(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘．

探究二　复数三角形式的除法运算

[例2]　(1) 计算：

4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；

(2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．

方法提升

复数三角形式的除法运算

(1)利用复数三角形式的除法法则：模数相除，辐角相减．

(2)一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数．

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复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

数形结合思想在复数三角形式的乘除运算中的应用

直观想象、逻辑推理、数学运算

复数的三角形式，就是形的的体现．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．

[典例]　若向量OZ1→与OZ2→分别表示复数z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 则∠Z2OZ1＝________.

[审题视角]　先作出向量OZ1→与OZ2→，根据图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差，再借助复数除法的几何意义转化为z1z2的辐角主值．

[素养提升]　本题是复数与角的大小之间的关系，因此考虑复数三角形式的乘除运算的几何意义，需要画出复数对应的向量，借助图形，将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差．利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，使问题变得简单、方便．

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