人教高中数学A版必修二 《复数的三角表示》复数PPT课件(复数乘、除运算的三角表示及其几何意义)
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《复数的三角表示》复数PPT课件(复数乘、除运算的三角表示及其几何意义)
第一部分内容:内容标准
1.了解复数乘、除运算的三角表示.
2.了解复数乘、除运算的几何意义.
3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算.
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复数的三角表示PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 复数三角形式的乘法、除法法则
预习教材,思考问题
若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗?
知识梳理 设复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2.
知识点二 复数三角形式的乘法、除法几何意义
知识梳理 复数z1,z2对应的向量分别为OZ1→,OZ2→
①复数乘法的几何意义:
两个复数z1,z2相乘时,如图,把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的______倍,得到向量OZ→,OZ→表示的复数就是______ .这是复数乘法的几何意义.
②复数除法的几何意义:
两个复数z1,z2相除时,如图,把向量OZ1→绕点O按______方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把OZ1→绕点O按______方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的______倍,得到向量OZ→,OZ→表示的复数就是商z1z2.这是复数除法的几何意义.
[自主检测]
1.复数z=(cos 25°+isin 25°)(cos 50°+isin 50°)的三角形式是( )
A.cos (-25°)+isin (-25°)
B.sin 75°+icos 75°
C.cos 15°+isin 15°
D.cos 75°+isin 75°
2.计算:3(cos π3+isin π3)÷2(cos 5π6+isin 5π6)=_________.(用代数形式表示)
3.将复数1+i对应的向量OM→绕点O按逆时针方向旋转π4,得到的向量为OM1→,那么OM1→对应的复数是________(用代数形式表示).
... ... ...
复数的三角表示PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 复数三角形式的乘法运算
[例1] 计算下列各式:
(1)16(cos4π3+isin4π3)×4(cos5π6+isin5π6);
(2) 3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)]
[10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i)[3(cos 7π4+isin 7π4)] .
[分析] 代入复数三角形式的乘法法则计算即可.
方法提升
复数三角形式的乘法运算
(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模数相乘,辐角相加.
(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.
探究二 复数三角形式的除法运算
[例2] (1) 计算:
4(cos 80°+isin 80°)÷2(cos 320°+isin 320°);
(2)已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求1z的三角形式.
方法提升
复数三角形式的除法运算
(1)利用复数三角形式的除法法则:模数相除,辐角相减.
(2)一个非零复数的倒数,其模是原来复数的模的倒数,其辐角是原来复数辐角的相反数.
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复数的三角表示PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
数形结合思想在复数三角形式的乘除运算中的应用
直观想象、逻辑推理、数学运算
复数的三角形式,就是形的的体现.利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,使问题变得简单、方便.
[典例] 若向量OZ1→与OZ2→分别表示复数z1=1+23i,z2=7+3i, 则∠Z2OZ1=________.
[审题视角] 先作出向量OZ1→与OZ2→,根据图形,将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差,再借助复数除法的几何意义转化为z1z2的辐角主值.
[素养提升] 本题是复数与角的大小之间的关系,因此考虑复数三角形式的乘除运算的几何意义,需要画出复数对应的向量,借助图形,将∠Z2OZ1转化为复数z1与z2的辐角的差.利用数形结合和除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,使问题变得简单、方便.
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