人教高中数学A版必修二 《复数的三角表示》复数PPT课件(复数的三角表示式)

《复数的三角表示》复数PPT课件(复数的三角表示式)

第一部分内容：内容标准

1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．

2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义．

3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.

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复数的三角表示PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点　复数的三角表示式

预习教材，思考问题

(1)如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?

(2)我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量OZ→＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量OZ→的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？

知识梳理　(1)复数的辐角：以x轴的非负半轴为始边，____________为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．我们规定在______范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，即______ .

(2)复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是复数的______；θ是复数z＝a＋bi的辐角．______ 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，______ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的______与______分别相等．

[自主检测]

1．复数1＋3i化成三角形式，正确的是(　　)

A．2(cos 2π3＋isin 2π3)

B．2(cos π3＋isin π3)

C．2(cos 5π3＋isin 5π3)

D．2(cos 11π6＋isin 11π6)

2．复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　)

A．80°　　B．100°

C．190° D．260°

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复数的三角表示PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　复数的三角形式

[例1]　下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．

(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；

(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；

(3) z3＝－sin θ＋icos θ .

(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”或“－π5”变换到第四象限．

所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．

(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．

所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .

方法提升

复数三角形式的判断依据和变形步骤

(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.

探究二　复数的代数形式表示成三角形式

[例2]　画出下列复数对应的向量，指出它们的模和辐角的主值，并把这些复数表示成三角形式：

(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.

(2)复数－10对应的向量如图所示，

则模r＝10，对应的点在x轴的负半轴上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．

方法提升

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模；

(2)决定辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；

(4)写出复数的三角形式．

探究三　把复数表示成代数形式

[例3]　分别指出下列复数的模和一个辐角，并把这些复数表示成代数形式：

(1)10(cos π3＋isinπ3)；

(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；

(3)2(cos 45°－isin 45°)．

方法提升

1．类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．

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复数的三角表示PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

复数的三角形式

逻辑推理、数学运算

在求复数的三角形式时，需要进行复杂的三角恒等变换，在变换时一定要根据复数三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连，确定判断的依据和变形的方向．只要角的范围在[0,2π]即可．

[素养提升]　1.在表示复数的三角形式时，要严格套用复数三角形式的四个结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．

2．注意复数辐角的主值范围[0,2π).

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