人教高中数学A版必修二 《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例)

《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT下载(第四课时余弦定理、正弦定理应用举例)

第一部分内容：内容标准

1.了解实际测量中专用名词与术语．

2.熟练掌握正、余弦定理．

3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题.

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平面向量的应用PPT，第二部分内容：课前 • 自主探究

[教材提炼]

知识点一　实际应用问题中的专用名词与术语

知识梳理　(1)基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_____叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越_____，测量的精确度越高．

(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线_____的角叫仰角，目标视线在水平视线_____的角叫俯角(如图①)．

(3)方位角：指从正北方向按_____转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

知识点二　解决实际问题的步骤

知识梳理　解三角形应用题的一般步骤

[自主检测]

1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图，测得下面四组数据，较合理的是(　　)

A．c与α　　B．c与b

C．b，c与β   D．b，α与γ

2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是(　　)

A．α>β　 B．α＝β

C．α＋β＝90°  D．α＋β＝180°

3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°  B．北偏西10°

C．南偏东10°  D．南偏西10°

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平面向量的应用PPT，第三部分内容：课堂 • 互动探究

探究一　求距离问题

[例1]　如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．

[解析]　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝3(km)．

在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.

方法提升

1.测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．

2．如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：

(1)取基线CD；

(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；

(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；

(4)在△ABC中，利用余弦定理得

AB＝AC2＋BC2－2AC•BC•cos ∠ACB.

探究二　求高度问题

[例2]　在平地上有A、B两点，点A在山坡D的正东，点B在山坡D的东南，而且在A的南偏西15°，且距A为1502 m的地方，在A处测山坡顶C的仰角为30°，求山坡的高度．

[解析]　如图所示，在△ADB中，AB＝1502，∠ADB＝45°，

∠DAB＝90°－15°＝75°，

∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.

方法提升

对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可．

探究三　 求角度问题

[例3]　某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以103 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

方法提升

1．三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理，这是因为：余弦函数在(0，π)上是单调递减的，由所求得余弦值，不用判断角的个数问题(主要区别钝角、锐角问题)，答案是唯一的，而正弦函数在(0，π)上不是单调的，因而求出正弦值后有两个角对应，还需判断角的合理性．若用正弦定理求角，应结合具体图形来判断角的解的个数，也可尽量地利用直角三角形来解答．

2．测量角度问题的情境属于“根据需要对某些物体定位”，测量数量越准确，定位精度越高．

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平面向量的应用PPT，第四部分内容：课后 • 素养培优

函数与方程思想——解三角形应用举例中的应用

直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算

函数与方程思想在三角形应用举例中有着广泛的应用，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．

[典例]　 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

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