人教高中数学A版必修一 《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.理解基本不等式√ab≤(a+b)/2(a,b≥0).

2.能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.

3.能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小.

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基本不等式PPT，第二部分内容：自主学习

一、基本不等式 

1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用√a 、√b分别代替不等式中的a、b,可得到什么形式?

提示:得到a+b≥2√ab.

(2)这个不等式我们经常写成√ab≤(a+b)/2(a>0,b>0),并称这个不等式为“基本不等式”.等号成立的条件是什么?

提示:当且仅当a=b时,等号成立. 

(3)我们称√ab为a,b的几何平均数,称(a+b)/2为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?

提示:基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

(4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD.

二、利用基本不等式求最值

1.填写下面的两个表格:

根据以上表格,并结合基本不等式分析:

(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?

(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?

提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于

2.填空

基本不等式与最值

已知x,y都是正数.

3.做一做

已知x>0,y>0.

(1)若xy=4,则x+y的最小值是___________; 

(2)若x+y=4,则xy的最大值是___________. 

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基本不等式PPT，第三部分内容：探究学习

基本不等式的理解

例1下列命题正确的是(　　) 

答案:B

反思感悟  应用基本不等式时要注意以下三点

(1)各项或各因式均为正;

(2)和或积为定值;

(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.

变式训练1下列结论不成立的是(　　)

A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5

D.若a∈R,则有a2+9≥6a

答案:C

探究二利用基本不等式证明不等式 

例2(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,

求证:a+b+c>√ab+√bc+√ca.

(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,

求证:(1/a "-" 1)(1/b "-" 1)(1/c "-" 1)≥8.

分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;

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基本不等式PPT，第四部分内容：随堂演练

1.已知x>0,则x+1/2x的最小值为(　　)

A.1/2 B.1 C.√2/2 D.√2

解析:由基本不等式,得x+1/2x≥2√(x"•"  1/2x)=√2,当且仅当x=1/2x,即x=√2/2时等号成立,故最小值为√2.

答案:D 

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