人教高中数学A版必修一 《分段函数》函数的概念与性质PPT

《分段函数》函数的概念与性质PPT

第一部分内容：课标阐释

1.了解分段函数的概念.

2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.

3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.

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分段函数PPT，第二部分内容：自主预习

分段函数

1.(1)教材P68例5,在画函数图象时,将函数y=|x|化简得到

y={■(x"," x≥0"," @"-" x"," x<0"." )┤这个函数有什么特点?

提示:当x≥0和x<0时,这个函数表达式不一样,也就是对应关系不同.

(2)作出函数y=2x(x∈R)的图象,再作出y=x2(x∈R)的图象.把这两个图象放在同一个直角坐标系中还能表示函数图象吗?

提示:函数y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起来不能表示函数图象,因为取某个x值时,y值不一定唯一.

(3)在同一个直角坐标系中分别画出函数y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)的图象,这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗?如何写它的解析式?

提示:可以表示函数图象,因为符合函数定义,解析式可写为

y={■(2x"," x<0"," @x^2 "," x≥0"." )┤

(4)类似y={■(x"," x≥0"," @"-" x"," x<0)┤和y={■(2x"," x<0"," @x^2 "," x≥0)┤的函数叫分段函数.分段函数是一个函数还是两个函数?

提示:不管分段函数分了几段,它都是一个函数,不要把它误认为是几个函数.

(5)请举出几个实际生活中分段函数的例子.

提示:实际生活中,出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.

2.填空

如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.

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分段函数PPT，第三部分内容：探究学习

求分段函数的求值 

例1已知函数f(x)={■(x+2"," x<0"," @x^2 "," 0≤x<2"," @1/2 x"," x≥2"," )┤

(1)求f(f(f("-"  1/2)))的值;

(2)若f(x)=2,求x的值. 

(2)分别令x+2=2,x2=2,1/2x=2,分段求x并验证.

反思感悟  1.求分段函数的函数值的步骤

(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.

(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.

2.已知函数值求自变量取值的步骤

(1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式.

(2)再将函数值代入到不同的解析式中.

(3)通过解方程求出自变量的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

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分段函数PPT，第四部分内容：思想方法

利用数形结合思想求方程根的个数

典例 对于m不同的取值范围,讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数.

分析:可考虑给定方程左侧对应函数的图象,即画出函数y=x2-4|x|+5的图象,看图象与直线y=m的交点个数的变化便可得出结论.

解:将方程x2-4|x|+5=m实根的个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题.

y=x2-4|x|+5={■(x^2 "-" 4x+5"," x≥0"," @x^2+4x+5"," x<0"," )┤

作出图象,如图所示.

当m<1时,直线y=m与该图象无交点,故方程无解.

当m=1时,直线y=m与该图象有两个交点,

故方程有两个实根.

当1<m<5时,直线y=m与该图象有四个交点,

故方程有四个实根.

当m=5时,直线y=m与该图象有三个交点,

故方程有三个实根.

当m>5时,直线y=m与该图象有两个交点,

故方程有两个实根.

反思感悟 本题通过构造函数,利用数形结合的思想,直观形象地通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,不需知道实数根的具体数值.

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分段函数PPT，第五部分内容：随堂演练

1.已知f(x)={■(x^2 "," x>0"," @π"," x=0"," @0"," x<0"," )┤则f(f(-3))等于(　　)

A.0B.πC.π2D.9

解析:f(f(-3))=f(0)=π.

答案:B

2.函数f(x)=x+("|" x"|" )/x的图象是(　　)

解析:f(x)=x+("|" x"|" )/x={■(x+1"," x>0"," @x"-" 1"," x<0)┤是分段函数.

答案:C 

3.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是_____. 

解析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.

答案:y={■(0"." 5x"," 0≤x≤100"," @10+0"." 4x"," x>100)┤

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