人教高中数学A版必修一 《任意角和弧度制》三角函数PPT课件(第1课时任意角)

《任意角和弧度制》三角函数PPT课件(第1课时任意角)

第一部分内容：学 习 目 标

1.理解任意角的概念．

2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)

3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)

核 心 素 养

1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．

2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.

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任意角和弧度制PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．角的概念

角可以看成平面内________绕着端点从一个位置_____到另一个位置所形成的图形．

2．角的表示

如图，(1)始边：射线的_____位置OA，

(2)终边：射线的_____位置OB，

(3)顶点：射线的_____O.

这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

3．任意角的分类

(1)按旋转方向分

(2)按角的终边位置分

①前提：角的顶点与_____重合，角的始边与__________重合．

②分类：

4．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________，k∈Z}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？

提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．

初试身手

1．下列说法正确的是(　　)

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．第四象限的角一定是负角

C．60°角与600°角是终边相同的角

D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°

D　[A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；

B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；

C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；

D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×16＝60°.]

2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．

3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．

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任意角和弧度制PPT，第三部分内容：合作探究提素养

角的有关概念的判断

【例1】(1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．

其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①420°.②855°.③－510°.

(1)①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；

②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]

(2)[解]　作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角．

②855°是第二象限角．

③－510°是第三象限角．

规律方法

1．理解角的概念的关键与技巧：

(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．

2．象限角的判定方法：

(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．

(2)第一步，将α写成α＝k•360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；

第二步，判断β的终边所在的象限；

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．

跟踪训练

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)

A．A＝B＝C

B．A⊆C

C．A∩C＝B 

D．B∪C⊆C

2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)

A．1个　B．2个

C．3个　D．4个

终边相同的角的表示及应用

【例2】(1)将－885°化为k•360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．

(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

[思路点拨]　(1)根据－885°与k•360°，k∈Z的关系确定k.

(2)先写出与α终边相同的角k•360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定k的可能取值．

规律方法

1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法

(1)一般地，可以将所给的角α化成k•360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．

(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．

2．运用终边相同的角的注意点

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k•360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k•360°与α之间用“＋”连接，如k•360°－30°应看成k•360°＋(－30°)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．

提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．

课堂小结

1．角的旋转定义给出后，就将原来0°～360°间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础．

2．明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证．

3．理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角．

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任意角和弧度制PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)第二象限角大于第一象限角．(　　)

(2)第二象限角是钝角．(　　)

(3)终边相同的角一定相等．(　　)

(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)

[提示]　(1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.

(2)错误．如第二象限角－181°不是钝角．

(3)错误．终边相同的角可表示为α＝β＋k•360°，k∈Z，即α与β不一定相等．

(4)都正确．

2．下列各个角中与2 019°终边相同的是(　　)

A．－149°

B．679°

C．319°  

D．219°

3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．

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