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数学教案 直线与椭圆的位置关系导学案

第一网小编3年前 (2022-09-05)教学教案215

教学目标:
(1)会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;
(2)通过求弦长具体实例,发现求弦长的一般规律,体验从特殊到一般的认识规律;
(3)通过几何关系与代数运算的不断转化,感悟解析几何基本思想,培养学生逻辑推理能力和运算能力.
教学重点:直线与椭圆的弦长公式探究
教学难点:从特殊到一般规律的发现,“数”和“形”之间的相互转化.
教学过程:
教师:直线与圆有哪些位置关系?如何判断?
学生:直线与圆的位置关系及其判定:
几何方法: 相离、 相切、 相交.
代数方法:方程组 无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.
教师:由于圆的特殊性,几何方法显得简单,而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆,直线与椭圆有哪些位置关系?
(板书: : ,e: )
学生:直线与椭圆有三种位置关系:相离、相切、相交.或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.
教师:当直线与椭圆没有公共点时,称直线与椭圆相离;当有一个公共点时,称直线与椭圆相切,这条直线叫椭圆的一条切线;当直线与椭圆有两个公共点时,称直线与椭圆相交.(板书:相离、相切、相交)
      板书课题:直线椭圆位置关系
教师:请大家研究下面问题如何解决
判断出直线 与椭圆e: 的位置关系是_______
学生1:画图,直线与y的交点(0, 1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
学生2:由(板书) ,得 ,
 ,直线与椭圆相交.

教师:(学生思考解答时,教师画出椭圆)学生1的方法简捷明了,使得我们对问题有了直观的认识,为什么多数同学没有这样解答呢?从“数形结合”是思考问题的首选。
但我们的认识不能停留在此,要进一步深入;如果将直线改为 ,在化草图的情况下方法1就不适合了,而方法2具有一般性.(板书
 消去y得 , .
 时相离、 时相切、 时相交。
教师:上述问题中,设直线与椭圆交于a,b两点,你如何求线段ab的长|ab|呢?
(学生独立解答教师巡视)运算过程中想一想能否优化运算过程,简化运算。
教师提示.
发现下面三种运算,请该生板书
学生1: , ;
        a( , ),b( , ).
|ab|=
 .
学生2: , ;
        a( , ),b( , ).
|ab|=
 = .
学生3: , ;
          =
|ab|=
= .
教师:运算是一件既容易又困难的工作,容易是指谁都会算,困难是指算得既简洁又准确。学生2注意到提取公因数,比学生1的算法要简单;学生3(如果没有学生这样做,老师从学生2中引导出来)注意到 与 之间关系,使得要研究4个未知量的问题转化为两个未知量的问题。同过大家的实践,可以发现对于直线上两点 ,结论  。这是由于直线上点的横纵坐标是线性变化的。
      大家再仔细观察解题过程,还能发现那些结论?
学生:在|ab|= 中, ;( )
教师:上述结论是偶然还是必然?能否推广到一般情况使得我们连两个未知数 都可以不求了?
学生:当直线与椭圆相交时|ab|=  成立。共2页,当前第1页12

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