人教高中数学A版必修二 《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)

《空间直线、平面的垂直》立体几何初步PPT(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)

第一部分内容：学习目标

会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角

理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性

掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题

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空间直线平面的垂直PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：

1．异面直线所成的角的定义是什么？

2．异面直线所成的角的范围是什么？

3．异面直线垂直的定理是什么？

4．直线与平面垂直的定义是什么？

5．直线与平面垂直的判定定理是什么？

新知初探

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是________，就说这两条异面直线________________．直线a与直线b垂直，记作________．

(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.

[名师点拨]

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．

2．直线与平面垂直

定义 一般地，如果直线l与平面α内的________________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关概念  直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________

图示及画法  

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

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空间直线平面的垂直PPT，第三部分内容：自我检测

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．(　　)

(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

2.  直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行　　B．垂直

C．在平面α内  D．无法确定

3. 已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　)

A．a∥α   B．a⊂α

C．a⊥α   D．a是α的斜线

4.  在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．

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空间直线平面的垂直PPT，第四部分内容：讲练互动

异面直线所成的角

如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

【解】(1)如图，因为CG∥BF.

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

规律方法

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　 

直线与平面垂直的定义

(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　B．相交

C．异面   D．垂直

(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α  B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m  D．若l∥α，m∥α，则l∥m

规律方法

对线面垂直定义的理解

(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 

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空间直线平面的垂直PPT，第五部分内容：达标反馈

1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)

A．a⊥b，且a与b相交

B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b

D．a与b不一定垂直

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C　　B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1   D．平面A1DB

3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　)

A．相交且垂直   B．不相交也不垂直

C．相交不垂直   D．不相交但垂直

4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________． 

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