人教高中数学B版必修一 《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》等式与不等式PPT

《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》等式与不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.理解一元二次方程,会求一元二次方程的解集.

2.明确一元二次方程根与系数的关系并会灵活应用.

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一元二次方程的解集及其根与系数的关系PPT，第二部分内容：自主预习

知识点一、一元二次方程的解集

1.思考

什么是一元二次方程?其解的情况如何?

提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.

当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根;

当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根;

当Δ=b2-4ac<0时,方程无实根.

2.填空 

方程ax2+bx+c=a x+b/2a 2+(4ac"-" b^2)/4a(a≠0),

(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程的解集为 ("-" b+√(b^2 "-" 4ac))/2a,("-" b"-" √(b^2 "-" 4ac))/2a ;

(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程的解集为 -b/2a ;

(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程的解集为⌀.

3.做一做

关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 (　　)

A.两个不等的实数根

B.两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,

∴该方程无实数根.

答案:C

知识点二、一元二次方程根与系数的关系

1.思考

(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,其大小如何?并求出x1+x2与x1x2的大小.

(2)解方程x2-x-2=0,你能发现该方程的两根与其系数之间有怎样的关系?

2.填空

当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系:

(1)x1+x2=-b/a;

(2)x1x2=c/a.

3.做一做

一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为________. 

解析:设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,

∴x1+x2=-("-" 6)/3=2.

答案:2

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一元二次方程的解集及其根与系数的关系PPT，第三部分内容：探究学习

求一元二次方程的解集

例1求方程x2+5x-2=0的解集.

分析:利用公式法求解一元二次方程的两根.

解:∵x2+5x-2=0,

∴x1,2=("-" 5±√(5^2 "-" 4×1×"(-" 2")" ))/(2×1)=("-" 5±√33)/2,

∴该方程的解集为 ("-" 5"-" √33)/2,("-" 5+√33)/2 .

反思感悟 一元二次方程的常见解法

(1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±√p或mx+n=±√p,从而通过降次转化为一元一次方程.

(2)配方法:

用配方法解一元二次方程的一般步骤是:

①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;

②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;

③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;

④用直接开平方法解变形后的方程.

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一元二次方程的解集及其根与系数的关系PPT，第四部分内容：思维辨析

整体代入法求代数式的值

典例 若a是方程x2+x-2 019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值是_________. 

解析:∵a是方程x2+x-2 019=0的根,

∴a2+a-2 019=0,即a2+a=2 019.

∴2a2+2a-1=2×2 019-1=4 037.

答案:4 037

方法点睛 根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2 019,然后利用整体代入法计算即可,而不需求出方程的根.

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一元二次方程的解集及其根与系数的关系PPT，第五部分内容：当堂检测

1.下列方程中,无实数根的方程是(　　)

A.x2+1=0 B.x2+x=0

C.x2+x-1=0 D.x2=0

解析:A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程无实数根;

B.∵Δ=12>0,∴方程有两个不相等实数根;

C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有两个不相等实数根;

D.∵Δ=0,∴方程有两个相等实数根.

故选A.

答案:A

2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有实数根,则m的取值范围是(　　)

A.m≤3且m≠2   B.m<3

C.m≤3   D.m<3且m≠2

解析:∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有实数根,

∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,

∴m的取值范围是m≤3且m≠2.

故选A.

答案:A

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