人教高中数学B版必修一 《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)

《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)

第一部分内容：学习目标

理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程

能够运用均值不等式求函数或代数式的最值

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均值不等式及其应用PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P72－P75的内容，思考以下问题：

1．正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？

2．均值不等式的内容是什么？

3．均值不等式中的等号成立的条件是什么？

4．两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？

5．两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？

新知初探

1．算术平均值与几何平均值

给定两个正数a，b，数____________称为a，b的算术平均值；数ab 称为a，b的几何平均值．

2．均值不等式

如果a，b都是正数，那么_______________，当且仅当a＝b时，等号成立．

■名师点拨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

3．均值不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最_____值s24.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最______值2p.

即：两个正数的积为常数时，它们的和有______值；

两个正数的和为常数时，它们的积有______值．

■名师点拨

利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：

①一正：符合均值不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一边为定值；

③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

自我检测

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.(　　)

(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.(　　)

(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)

  如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是(　　)

A．2　　B．22

C．3       D．4

不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提条件为(　　)

A．x≥2y  B．x>2y

C．x≤2y  D．x<2y

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均值不等式及其应用PPT，第三部分内容：讲练互动

对均值不等式的理解

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4

B．当x>0时，x＋1x≥2

C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2

D．当0<x≤2时，x－1x无最大值

利用均值不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．

规律方法

(1)若a＋b＝p(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2s，可以用均值不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　 

利用均值不等式借助拼凑法求最值

(1)已知x>2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．

(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

求解策略

通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．　 

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均值不等式及其应用PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋4a≥4　　B．a2＋b2≥4ab

C．ab≥a＋b2    D．x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A．25  B．252

C．254  D．258

3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是(　　)

A．2  B．a

C．2aa－1  D．3

4．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．

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