人教高中数学A版必修一 《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT

《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.会用不等式组表示不等关系.

2.能够用作差法比较两个数或式的大小.

3.掌握等式的性质.

4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.

5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.

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等式性质与不等式性质PPT，第二部分内容：自主预习

一、不等式与不等关系

1.填空

不等式与不等关系

(1)不等式的定义所含的两个要点.

①不等符号>,<,≥,≤或≠.

②所表示的关系是不等关系.

(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.

2.做一做

某一路段限速40 km/h,它是指司机在该路段行驶时,应使汽车的速度v(单位:km/h)不超过40 km/h,写成不等式就是_________. 

答案:v≤40

二、实数的大小比较

1.如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?

提示:通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.

2.填空

比较实数a,b的大小的依据

3.做一做

若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是___________. 

解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.

答案:x2-1>2x-5

三、重要不等式

1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系?

提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab.

2.填空

∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

四、不等式的性质

1.请你梳理等式的基本性质,写出它的对称性、传递性、加减性、乘除性的关系式.

提示:(1)对称性:如果a=b,那么b=a;

(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;

(3)加减性:如果a=b,那么a±c=b±c;

(4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc;

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等式性质与不等式性质PPT，第三部分内容：探究学习

 用不等式(组)表示不等关系

例1已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:

设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.

分析:根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000 单位列不等式.

解:由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位,

反思感悟  1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.

2.用不等式(组)表示不等关系的步骤:

(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;

(2)适当设未知数表示变量;

(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.

变式训练1某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法.若整个小区每户都安装,收整体初装费10 000元,再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后,每户平均支付不足1 000元,则这个小区的住户数为(　　)

A.至少20户 B.至多20户

C.至少21户 D.至多21户

解析:设这个小区的住户数为x,则由题意可得10 000+500x<1 000x,解得x>20.因为x是整数,所以这个小区的住户数至少为21户.故选C.

答案:C

 实数大小的比较

例2比较下列各组中的两个代数式的大小:

(1)2x2+3与x+2,x∈R;

分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.

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等式性质与不等式性质PPT，第四部分内容：思维辨析

应用不等式性质时忽视取等号的条件致错

典例设f(x)=ax2+bx,且1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.

正解:方法一(待定系数法)

设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),

则4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,

所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).

因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.

又2≤a+b≤4,

所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.

即5≤4a-2b≤10.

误区警示 求数(或式)的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围,再去求由此构成的代数式的取值范围,这往往会扩大代数式的范围.

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等式性质与不等式性质PPT，第五部分内容：随堂演练

1.下列说法正确的是(　　)

A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x>y”

C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”

答案:C

2.若实数a、b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是 (　　)

解析:对于A,a=1,b=-1时,有成立,故A错误;对于B,a=1,b=-2时,有a2<b2成立,故B错误;对于C,a=1,b=-2时,有ab<b2成立,故C错误;对于D,由不等式的性质分析可得若a>b,必有a3>b3成立,则D正确.

答案:D

3.(x+5)(x+7)________(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 

解析:(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.

答案:<

4.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为________. 

解析:∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].

答案:[-9,0]

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