人教高中数学A版必修一 《函数模型的应用》指数函数与对数函数PPT

《函数模型的应用》指数函数与对数函数PPT

第一部分内容：核心素养培养目标

1.会利用已知函数模型解决实际问题.

2.能建立函数模型解决实际问题.

3.了解拟合函数模型并解决实际问题.

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函数模型的应用PPT，第二部分内容：自主预习

一、利用具体函数模型解决实际问题

1.除了上一章涉及到的数学模型,常见的数学模型还有哪些?

提示:利用具体函数解决实际问题是我们要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用上一章提到的函数及指数函数和对数函数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:

(1)指数函数模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);

(2)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);

2.做一做

某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)

A.y=2x B.y=2x-1

C.y=2x D.y=2x+1

解析:分裂一次后由2个变成2×2=22(个),分裂两次后变成4×2=23(个),……,分裂x次后变成2x+1个.

答案:D

二、拟合函数模型

1.应用拟合函数模型解决问题的基本过程

2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;

第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;

第三步:解答数学问题,求得结果;

第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.

而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.

3.做一做

“红豆生南国,春来发几枝.”图中给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好?(　　)

A.指数函数y=2t

B.对数函数y=log2t

C.幂函数y=t3

D.二次函数y=2t2

解析:根据所给的散点图,观察可知图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数模型拟合最好.

答案:A

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函数模型的应用PPT，第三部分内容：探究学习

指数或对数函数模型的应用

例1 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,

为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的1/4,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√2/2.

(1)求每年砍伐面积的百分比;

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?

分析:可建立指数函数模型求解.

解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=1/2a,

即(1-x)10=1/2,解得x=1-(1/2)^(1/10).

(2)设经过m年剩余面积为原来的√2/2,

则a(1-x)m=√2/2a,即(1/2)^(m/10)=(1/2)^(1/2),m/10=1/2,解得m=5,

故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,

则n年后剩余面积为√2/2a(1-x)n.令√2/2a(1-x)n≥1/4a,

即(1-x)n≥√2/4,(1/2)^(n/10)≥(1/2)^(3/2),n/10≤3/2,

解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年. 

反思感悟1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.

2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型.

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函数模型的应用PPT，第四部分内容：随堂演练

1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是(　　)

A.分段函数 B.二次函数

C.指数函数 D.对数函数

解析:由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.

答案:A

2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)

A.y=0.2x B.y=1/10(x2+2x)

C.y=2^x/10   D.y=0.2+log16x

解析:当x=1时,否定选项B;当x=3时,否定选项A,D,检验C项较为接近.

答案:C

3.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过____________ min,桶A中的水只有a/8L. 

解析:因为5 min时,桶A和桶B中的水量相等,

所以a·e-5n=a-a·e-5n,

所以e-5n=1/2.令a•e-nt=a/8,

则e-nt=1/8=(1/2)^3=e-15n,故有t=15.

所以再过10 min,桶A中的水只有a/8 L.

答案:10 

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