人教高中数学A版必修一 《指数函数》指数函数与对数函数PPT

《指数函数》指数函数与对数函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.

2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.

3.逐步体会指数函数在实际问题中的应用.

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指数函数PPT，第二部分内容：自主预习

一、指数函数的定义

1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.

(1)变量x与y间存在怎样的关系?

提示:y=2x,x∈N*.

(2)上述对应关系是函数关系吗?为什么?

提示:是.符合函数的定义.

2.如果x∈R,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有何结构特征?

提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量.

3.填空:

一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量, 定义域是R.

4.指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?

提示:将a如数轴所示分为:a<0,a=0,0<a<1,a=1和a>1五部分进行讨论:

(1)如果a<0,如y=(-4)x,这时对于x=1/4,x=1/2等,在实数范围内函数值不存在;

(2)如果a=0,{■("当" x>0"时," a^x "恒等于" 0"," @"当" x≤0"时," a^x "无意义;" )┤

(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;

(4)如果0<a<1或a>1,即a>0且a≠1,x可以是任意实数.

5.做一做

若函数y=(a-2)ax是指数函数,则(　　)

A.a=1或a=3   B.a=1

C.a=3 D.a>0且a≠1

解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,

则{■(a"-" 2=1"," @a>0"且" a≠1"," )┤解得a=3.

答案:C

二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质

分别在同一平面直角坐标系内画出y=2x与y=(1/2)^x的图象及y=3x与y=(1/3)^x的图象,通过观察具体的指数函数的图象,归纳、抽象出y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质.

(1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么?

提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+∞).

(2)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?

提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象下降,为减函数.

(3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗?

提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.

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指数函数PPT，第三部分内容：探究学习

指数函数的概念 

例1 (1) 如果指数函数y=f(x)的图象经过点("-" 2","  1/4),那么f(4)f(2)等于____________. 

(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.

分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,最后代值求解;(2)依据指数函数的形式定义,确定参数a所满足的条件求解.

(1)解析:设f(x)=ax(a>0,a≠1),

∴a-2=   .∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.

答案:64

(2)解:由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得{■(a^2 "-" 3a+3=1"," @a>0",且" a≠1"," )┤

解得{■(a=1"或" a=2"," @a>0",且" a≠1"," )┤故a=2.

反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下: 

变式训练(1)已知指数函数的图象经过点P(-1,3),则f(3)=_________. 

(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=_________. 

解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3, 

解得a=1/3,所以f(x)=(1/3)^x,故f(3)=(1/3)^3=1/27.

(2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数, 

∴{■(a^2 "-" 2a+2=1"," @a+1>0"," @a+1≠1"," )┤解得a=1.

答案:(1)1/27　(2)1

指数函数的图象问题

例2 (1)如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

(2)已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是____. 

(3)函数y=(1/2)^("|" x"|" )的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?

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指数函数PPT，第四部分内容：思想方法

换元法在求函数值域中的应用

典例 已知函数y=(1/4)^x-(1/2)^x+1的定义域为[-3,2].

(1)求函数的单调区间;

(2)求函数的值域.

分析:原函数可以看作是y关于(1/2)^x的二次函数,换元后转化为二次函数在闭区间上的最值问题.

反思感悟 1.定义域、值域的求解思路

形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.

求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.

形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.

2.求解技巧

复合函数的值域,往往用换元法解决,但要注意新元和旧元的关系.

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指数函数PPT，第五部分内容：随堂演练

1.函数y=2-x的大致图象是 (　　) 

解析:y=2-x=(1/2)^x.

答案:B

2.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},则M∩N=(　　)

A.(1,2) B.(1,+∞)

C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪(1,+∞)

答案:A

3.已知2x>21-x,则x的取值范围是(　　)

A.R B.x<1/2

C.x>1/2 D.⌀

解析:∵2x>21-x,∴x>1-x,即x>1/2.

答案:C 

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