人教高中数学A版必修一 《指数》指数函数与对数函数PPT

《指数》指数函数与对数函数PPT

课标阐释

1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质.

2.能利用根式的性质对根式进行运算.

3.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化.

4.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.

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自主预习

一、n次方根

1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?

提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零.

(2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根?

提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

2.填空:

3.做一做:

用根式表示下列各式.

(1)已知x5=2 019,则x=___________; 

(2)已知x4=2 019,则x=___________. 

二、根式

1.(1)类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?

提示:a为正数:{■(n"为奇数," a"的" n"次方根有一个,为" √(n&a) "," @n"为偶数," a"的" n"次方根有两个,为" ±√(n&a) ";" )┤

a为负数:{■(n"为奇数," a"的" n"次方根只有一个,为" √(n&a) "," @n"为偶数," a"的" n"次方根不存在;" )┤

零的n次方根为零,记为√(n&0)=0.

(2)根据n次方根的意义,可知(√(n&a))n=a肯定成立,那么等式√(n&a^n )=a一定成立吗?

提示:不一定成立.通过探究可得到:n为奇数,√(n&a^n )=a;n为偶数,√(n&a^n )=|a|={■(a"," a≥0"," @"-" a"," a<0"." )┤

2.填空

3.做一做 

(1)若(√(n&"-" 2))n=-2(n>1,且n∈N*)有意义,则n为__________数;(填“奇”或“偶”) 

(2)若m<n,则√("(" m"-" n")" ^2 )=__________. 

答案:(1)奇　(2)n-m 

三、分数指数幂

1.(1)整数指数幂的运算性质有哪些?

提示:①am•an=am+n;②(am)n=am•n;

③a^m/a^n =am-n(m>n,a≠0);(4)(a•b)m=am•bm.

(2)零指数幂和负整数指数幂是如何规定的? 

提示:规定:a0=1(a≠0);00无意义,a-n=1/a^n (a≠0).

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探究学习

根式的概念

例1(1)27的立方根是__________;16的4次方根是__________. 

(2)已知x6=2 019,则x=__________. 

(3)若∜(x+3)有意义,则实数x的取值范围为__________. 

解析:(1)27的立方根是∛27=3,16的4次方根为±∜16=±2.

(2)由根式的定义可得x=±√(6&2" " 019).

(3)要使∜(x+3)有意义,则x需满足x+3≥0,即x≥-3.

答案:(1)3　±2　(2)±√(6&2" " 019)　(3)x≥-3

反思感悟 根式概念问题应关注的两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;

(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.

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思想方法

用换元法处理指数幂中的化简与证明问题

典例 已知pa3=qb3=rc3,且1/a+1/b+1/c=1.

求证:(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).

分析:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.

证明令pa3=qb3=rc3=k,

则pa2=k/a,qb2=k/b,rc2=k/c;p=k/a^3 ,q=k/b^3 ,r=k/c^3 .

∴所证等式左边= k/a+k/b+k/c   ^(1/3)

= k 1/a+1/b+1/c   ^(1/3)=k^(1/3),

所证等式右边=(k/a^3 )^(1/3)+(k/b^3 )^(1/3)+(k/c^3 )^(1/3)

=k^(1/3) (1/a+1/b+1/c)=k^(1/3).

∴(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).

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随堂演练

1.计算∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )的值为(　　)

A.5 B.-1

C.2π-5 D.5-2π

解析:∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )=2-π+π-3=-1.故选B.

答案:B 

2.下列各式正确的是(　　) 

A.(n/m)^7=n7m^(1/7)

B.√(12&"(-" 3")" ^4 )=∛("-" 3)

C.∜(x^3+y^3 )=(x+y")" ^(3/4)

D.√(∛9) =∛3

解析:∵(n/m)^7=n^7/m^7 =n7m-7,∴A错;

∵√(12&"(-" 3")" ^4 )=√(12&3^4 )=∛3,∴B错;

∵∜(x^3+y^3 )=(x3+y3")" ^(1/4),∴C错;

∵√(∛9) =√(9^(1/3) )=9^(1/3×1/2)=3^(1/3)=∛3,∴D正确.

答案:D 

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