人教高中数学A版必修一 《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第一课时基本不等式)

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第一课时基本不等式)

第一部分内容：学习目标

理解基本不等式的内容及导出过程

能够运用基本不等式求函数或代数式的最值

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基本不等式PPT，第二部分内容：自主学习

问题导学

预习教材P44－P46，并思考以下问题：

1．基本不等式的内容是什么？

2．基本不等式成立的条件是什么？

3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？

新知初探

1．重要不等式与基本不等式

■名师点拨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

2．基本不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当_______时，积xy取得最_______值_______．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当_______时，和x＋y取得最_______值_______．

记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．

■名师点拨

利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：

①一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一边为定值；

③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．

以上三点缺一不可．

自我检测

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　)

(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(　　)

(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22.(　　)

(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.(　　)

(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.(　　)

如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是(　　)

A．2　　B．22

C．3       D．4

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基本不等式PPT，第三部分内容：讲练互动

对基本不等式的理解

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4

B．当x>0时，x＋1x≥2

C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2

D．当0<x≤2时，x－1x无最大值

【解析】　对于选项A，当x<0时，4x＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0<x≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.

给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有(　　)

A．1个　   B．2个

C．3个   D．4个

利用基本不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．

规律方法

(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值S24，可以用基本不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2P，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．

不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．　 

1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16   B．25

C．9   D．36

2．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为(　　)

A．7   B．8

C．9   D．10

利用基本不等式求最值

(1)已知x>2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．

(2)若0<x<12，则函数y＝12x(1－2x)的最大值是________．

(3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

求解策略

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 

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基本不等式PPT，第四部分内容：达标反馈

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋4a≥4　B．a2＋b2≥4ab

C．ab≥a＋b2  D．x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A.25   B.25/2

C.25/4   D.25/8

3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是(　　)

A．2   B．a

C．2aa－1  D．3

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