人教高中数学A版必修一 《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第2课时)

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第2课时)

第一部分内容：学 习 目 标

1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).

2.理解三个“二次”之间的关系.

3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).

核 心 素 养

1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.

2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

思考1：x－3x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将x－3x＋2>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？

提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件

不等式 ax2＋bx＋c>0    ax2＋bx＋c<0

a＝0 b＝0，c>0         b＝0，c<0

a≠0 a>0Δ<0            a<0Δ<0

(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数y＝ax2＋bx＋c

若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k

若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k

3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤

(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．

(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．

(3)解不等式(或求函数最值)．

(4)回扣实际问题．

思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？

提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B等于(　　)

A．{x|－1≤x<0}　

B．{x|0<x≤1}

C．{x|0≤x<2}  

D．{x|0≤x≤1}

2．不等式x＋1x≥5的解集是________．

3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第三部分内容：合作探究提素养

分式不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)x－3x＋2<0；

(2)x＋12x－3≤1.

[解]　(1)x－3x＋2<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，

∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}．

(2)∵x＋12x－3≤1，

∴x＋12x－3－1≤0，

∴－x＋42x－3≤0，

即x－4x－32≥0.

此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，

解得x<32或x≥4，

∴原不等式的解集为xx<32或x≥4.

规律方法

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

一元二次不等式的应用

【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.

[思路点拨]　将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.

课堂小结

1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．

2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：

(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.

3．在某集合A中恒成立问题

设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)不等式1x>1的解集为x<1.(　　)

(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(　　)

2．不等式x＋1x＋22  x＋3x＋4>0的解集为________．

3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．

4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？

[解]　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.

所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.

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