人教高中数学A版必修一 《函数y＝Asin(ωx＋φ)》三角函数PPT

《函数y＝Asin(ωx＋φ)》三角函数PPT

第一部分内容：学 习 目 标

1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)

2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)

3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)

核 心 素 养

1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.

2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.

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函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

初试身手

1．把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为(　　)

A．y＝sin x－π3  B．y＝sin x＋π3

C．y＝sinx－π3  D．y＝sinx＋π3

2．为了得到函数y＝4sin12x－π6，x∈R的图象，只需将函数y＝4sinx－π6，x∈R的图象上的所有点(　　)

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.

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函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第三部分内容：合作探究提素养

三角函数图象之间的变换

【例1】(1)将函数y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．

(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋π4＋1的图象？

[思路点拨]　(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．

(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．

法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．

规律方法

由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：

(1)y＝sin x――――→相位变换y＝sin(x＋φ)――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)

――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sin x――――→周期变换y＝sin ωx――――→相位变换y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．

提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．

已知函数图象求解析式

【例2】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．y＝2cosx2－π4＋4  B．y＝2cosx2＋π4＋4

C．y＝4cosx2－π4＋2  D．y＝4cosx2＋π4＋2

(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．

[思路点拨]　由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.

规律方法

确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：

1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.

2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝π2；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝3π2；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.

三角函数图象与性质的综合应用

[探究问题]

1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？

提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．

2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？

提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．

函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点kπ－φω，0(k∈Z)成中心对称；

课堂小结

1．准确理解“图象变换法”

(1)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．

(2)由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．

(3)类似地y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cos x的图象变换得到．

2．由y＝Asin (ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.

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函数y＝Asin(ωx＋φ)PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)y＝sin 3x的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y＝sin3x＋π4.(　　)

(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.(　　)

(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝12sin x．(　　)

2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．

3．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin12x＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．

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