人教高中数学A版必修一 《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)

第一部分内容：学 习 目 标

1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)

2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)

3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)

核 心 素 养

1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.

2.结合函数图象，培养直观想象素养.

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三角函数的图象与性质PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

解析式    y＝sin x y＝cos x 

值域       _________ _________

单调性   在－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上单调递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z上单调递减

             在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减

最值       x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

             x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？

提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝π2，n＝π.

初试身手

1．函数y＝－cos x在区间－π2，π2上是(　　)

A．增函数　　　

B．减函数

C．先减后增函数 

D．先增后减函数

2．函数y＝sin xπ4≤x≤5π6的值域为________．

3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．

4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．

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三角函数的图象与性质PPT，第三部分内容：合作探究提素养

正弦函数、余弦函数的单调性

【例1】(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

(2)已知函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1，求函数f(x)的单调递增区间．

[思路点拨]　(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．

(2)确定增区间→令u＝π4＋2x→y＝2sin u的单调递增区间．

规律方法

1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．

2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．

提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．

利用三角函数的单调性比较大小

【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin－π18与sin－π10；

(2)sin 196°与cos 156°；

(3)cos－235π与cos－174π.

[思路点拨]　用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小

规律方法

三角函数值大小比较的策略

1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到－π2，π2或π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.

2不同名的函数化为同名的函数.

3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.

课堂小结

1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．

2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.

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三角函数的图象与性质PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．(　　)

(2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　　)

(3)函数y＝－12sin x，x∈0，π2的最大值为0.(　　)

2．y＝2cos x2的值域是(　　)

A．[－2,2]

B．[0,2]

C．[－2,0]

D．R

3．sin2π7________sin－15π8(填“＞”或“＜”)．

4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．

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