人教高中数学A版必修一 《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.了解一元二次不等式的现实意义.

2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第二部分内容：自主预习

一、一元二次不等式的概念

1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?

提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.

2.填空

一元二次不等式的概念及形式

(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.

(2)形式:

①ax2+bx+c>0(a≠0);

②ax2+bx+c≥0(a≠0);

③ax2+bx+c<0(a≠0);

④ax2+bx+c≤0(a≠0).

(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

3.做一做

已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④     >0.其中是一元二次不等式的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.

答案:A

二、一元二次不等式的解法

1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?

提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.

(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.

当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.

上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?

提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);

当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;

当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.

(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?

提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.

(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?

提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与0的关系来判断.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第三部分内容：探究学习

一元二次不等式的求解

例1解下列不等式:

(1)2x2-3x-2>0;

(2)-3x2+6x-2>0;

(3)4x2-4x+1≤0;

(4)x2-2x+2>0.

分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.

解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2.

因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,

所以原不等式的解集是{x├|x<"-"  1/2 "或" x>2}┤.

(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.

因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-√3/3,x2=1+√3/3.

因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是{x├|1"-"  √3/3<x<1+√3/3}┤.

(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是{x├|x=1/2}┤.

(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.

反思感悟  解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.

(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.

(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.

(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第四部分内容：思维辨析

求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法

1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则

f(x)>0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ<0"," )┤f(x)≥0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ≤0"," )┤

f(x)<0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ<0"," )┤f(x)≤0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ≤0"." )┤

当未说明不等式为一元二次不等式时,有

(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c>0)┤或{■(a>0"," @Δ<0";" )┤

(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c<0)┤或{■(a<0"," @Δ<0"." )┤

2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第五部分内容：随堂演练

1.不等式x2-9<0的解集为(　　)

A.{x|x<-3}   B.{x|x<3}

C.{x|x<-3或x>3}  D.{x|-3<x<3}

解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.

答案:D

2.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-16,0) B.(-16,0]

C.(-∞,0) D.(-8,8)

解析:不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴实数a的取值范围是(-8,8),故选D.

答案:D

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