人教高中数学A版必修一 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数PPT

《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数PPT

第一部分内容：核心素养培养目标

1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.

2.理解函数的零点与方程的解的联系.

3.掌握函数零点存在的条件,会利用两种角度判断函数零点的个数.

4.要深刻理解零点存在定理,并能解决零点的存在性等问题.

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函数的零点与方程的解PPT，第二部分内容：自主预习

一、函数的零点

1.已知函数f(x)=2x+6.

(1)求方程f(x)=0的解;

提示:由2x+6=0,解得x=-3.

(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.

提示:交点坐标A(-3,0).

(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?

提示:相等.

2.填空:

函数的零点

(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.

3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?

提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.

4.你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?

提示:①y=lg x的零点是x=1;②y=lg (x+1)的零点是x=0;③y=2x没有零点;④y=2x-2的零点是x=1.

5.做一做:

函数f(x)=x2-1的零点是(　　)

A.(±1,0) B.(1,0)

C.0 D.±1

解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.

答案:D

二、方程、函数、图象之间的关系

1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:

①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;

②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;

③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.

(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?

(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论? 

提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

三、函数零点存在性定理

1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?

提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

2.填空:

函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

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函数的零点与方程的解PPT，第三部分内容：探究学习

求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.

(1)f(x)=-8x2+7x+1;

(2)f(x)=1+log3x;

(3)f(x)=4x-16;

分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点. 

解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-1/8或x=1.

所以函数的零点为-1/8,1.

(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=1/3.

所以函数的零点为1/3.

(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.

所以函数的零点为2.

反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.

变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.

解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.

所以有{■(1+2="-" 3"(" m+1")," @1×2=n"," )┤解得{■(m="-" 2"," @n=2"." )┤

所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).

令log2(-2x+1)=0,得x=0.

所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.

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函数的零点与方程的解PPT，第四部分内容：思想方法

函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用

典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:

(1)方程有一个正解和一个负解;

(2)方程的两个解都大于1.

【审题视角】 题意→画草图→转换为数量关系→求解

解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.

(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图①,②所示.

因此f(x)=0有一个正解和一个负解等价于{■(a>0"," @f"(" 0")" <0"," )┤或{■(a<0"," @f"(" 0")" >0"," )┤

解得0<a<1.

所以当0<a<1时,方程有一个正解和一个负解.

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函数的零点与方程的解PPT，第五部分内容：随堂演练

1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.

答案:C

2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是 (　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-3<0,

f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,

f(4)=ln 4>0,则x0∈(2,3).

答案:C

3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为___________. 

解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.

当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.

∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,

∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.

∴Δ=1+4a=0,即a=-1/4.

综上可知,a的值为0或-1/4.

答案:0或-1/4

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