人教高中数学A版必修一 《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

第一部分内容：学 习 目 标

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．

2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)

3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)

核 心 素 养

1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．

2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.

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三角函数的图象与性质PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个_________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_________，那么这个函数的周期为_____.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_________，那么这个最小_________就叫做f(x)的_________．

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

初试身手

1．函数y＝2sin2x＋π2是(　　)

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为2π的奇函数 

D．周期为2π的偶函数

2．函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为(　　)

A．奇函数 

B．偶函数

C．既奇又偶函数 

D．非奇非偶函数

3．函数f(x)＝3sinπx2－π4，x∈R的最小正周期为________．

4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.

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三角函数的图象与性质PPT，第三部分内容：合作探究提素养

三角函数的周期问题及简单应用

【例1】求下列函数的周期：

(1)y＝sin2x＋π4；

(2)y＝|sin x|.

[思路点拨]　(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．

法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．

(2)作函数图象，观察出周期．

[解]　(1)法一：(定义法)y＝sin2x＋π4

＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋π＋π4，

所以周期为π.

法二：(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.

(2)作图如下：

观察图象可知周期为π.

规律方法

求三角函数周期的方法：

(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.

(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．

提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.

跟踪训练

1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．

(1)y＝cos 2x，x∈R；

(2)y＝sin13x－π4，x∈R.

三角函数奇偶性的判断

【例2】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝sin－12x＋π2；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x.

规律方法

1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：

一看函数的定义域是否关于原点对称；

二看f(x)与f(－x)的关系．

2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．

课堂小结

1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．

2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．

3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.

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三角函数的图象与性质PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)若sin2π3＋π6＝sinπ6，则2π3是函数y＝sin x的一个周期．(　　)

(2)所有的周期函数都有最小正周期．(　　)

(3)函数y＝sin x是奇函数．(　　)

[提示]　(1)×.因为对任意x，sin2π3＋x与sin x并不一定相等．

(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．

(3)×.函数y＝sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．

2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)

3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.

4．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝－2cos 3x；

(2)f(x)＝xsin(x＋π)．

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